Number System
कुल प्रश्न: 77 | पेज 1
1. किसी संख्या x को 289 से विभाजित करने पर शेषफल 18 प्राप्त होता हैं जब उसी संख्या को 17 से विभाजित किया जाये तो शेषफल y प्राप्त होता हैं तो y का मान हैं ।
सही उत्तर: [A]
हल (Solution):
85666
85666
2. What is the unit digit in the sum of $234^{102} + 234^{103}$?
सही उत्तर: [A]
हल (Solution):
To find the unit digit, we only need to look at the unit digit of the base number, which is 4.The power cycle of 4 follows a simple rule:If the power is an odd number, the unit digit is 4 (e.g., $4^1 = 4$).If the power is an even number, the unit digit is 6 (e.g., $4^2 = 16$).In the first term, $234^{102}$, the power (102) is even. So, its unit digit is 6.In the second term, $234^{103}$, the power (103) is odd. So, its unit digit is 4.Sum of unit digits = 6 + 4 = 10.Therefore, the final unit digit of the sum is 0.
To find the unit digit, we only need to look at the unit digit of the base number, which is 4.The power cycle of 4 follows a simple rule:If the power is an odd number, the unit digit is 4 (e.g., $4^1 = 4$).If the power is an even number, the unit digit is 6 (e.g., $4^2 = 16$).In the first term, $234^{102}$, the power (102) is even. So, its unit digit is 6.In the second term, $234^{103}$, the power (103) is odd. So, its unit digit is 4.Sum of unit digits = 6 + 4 = 10.Therefore, the final unit digit of the sum is 0.
3. सबसे छोटी अभाज्य संख्या (Prime Number) कौन सी है?
सही उत्तर: [C]
हल (Solution):
अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड (1 और स्वयं वह संख्या) होते हैं। 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता।
अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड (1 और स्वयं वह संख्या) होते हैं। 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता।
4. यदि किसी गोले (sphere) की त्रिज्या (radius) को मापने में 2% की प्रतिशत त्रुटि होती है, तो उसके आयतन (volume) की गणना करने में अधिकतम कितनी प्रतिशत त्रुटि होगी?
सही उत्तर: [C]
हल (Solution):
हल: गोले के आयतन का सूत्र होता है: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
चूंकि $\frac{4}{3}\pi$ एक नियतांक (constant) है, इसलिए त्रुटि निकालते समय केवल घात (power) का गुणा होता है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि = 3 × (त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि)
= 3 × 2% = 6%
हल: गोले के आयतन का सूत्र होता है: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
चूंकि $\frac{4}{3}\pi$ एक नियतांक (constant) है, इसलिए त्रुटि निकालते समय केवल घात (power) का गुणा होता है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि = 3 × (त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि)
= 3 × 2% = 6%
5. यदि किसी गोले (sphere) की त्रिज्या (radius) को मापने में 2% की प्रतिशत त्रुटि होती है, तो उसके आयतन (volume) की गणना करने में अधिकतम कितनी प्रतिशत त्रुटि होगी?
सही उत्तर: [C]
हल (Solution):
हल: गोले के आयतन का सूत्र होता है: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
चूंकि $\frac{4}{3}\pi$ एक नियतांक (constant) है, इसलिए त्रुटि निकालते समय केवल घात (power) का गुणा होता है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि = 3 × (त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि)
= 3 × 2% = 6%
हल: गोले के आयतन का सूत्र होता है: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
चूंकि $\frac{4}{3}\pi$ एक नियतांक (constant) है, इसलिए त्रुटि निकालते समय केवल घात (power) का गुणा होता है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि = 3 × (त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि)
= 3 × 2% = 6%
6. एक वस्तु के द्रव्यमान (mass) और वेग (velocity) के मापन में क्रमशः 1% और 2% की अधिकतम त्रुटि होती है। उसकी गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) में आने वाली अधिकतम प्रतिशत त्रुटि कितनी होगी?
सही उत्तर: [C]
हल (Solution):
हल: गतिज ऊर्जा का सूत्र होता है: $K = \frac{1}{2} m v^2$
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि निकालने के लिए:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = (\frac{\Delta m}{m} \times 100) + 2 \times (\frac{\Delta v}{v} \times 100)$
= 1% + 2 × 2%
= 1% + 4% = 5%
हल: गतिज ऊर्जा का सूत्र होता है: $K = \frac{1}{2} m v^2$
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि निकालने के लिए:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = (\frac{\Delta m}{m} \times 100) + 2 \times (\frac{\Delta v}{v} \times 100)$
= 1% + 2 × 2%
= 1% + 4% = 5%
7. बल (Force) का सही विमीय सूत्र (Dimensional formula) इनमें से कौन सा है?
सही उत्तर: [B]
हल (Solution):
हल: बल का सूत्र होता है: बल = द्रव्यमान × त्वरण।
द्रव्यमान की विमा = $[M]$
त्वरण की विमा = $[L T^{-2}]$
दोनों को गुणा करने पर बल की विमा = $[M L T^{-2}]$ बनती है। (विकल्प A कार्य/ऊर्जा की विमा है)।
हल: बल का सूत्र होता है: बल = द्रव्यमान × त्वरण।
द्रव्यमान की विमा = $[M]$
त्वरण की विमा = $[L T^{-2}]$
दोनों को गुणा करने पर बल की विमा = $[M L T^{-2}]$ बनती है। (विकल्प A कार्य/ऊर्जा की विमा है)।
8. एक वर्नियर कैलिपर्स में मुख्य पैमाने (Main scale) का 1 भाग (MSD) 1 mm के बराबर है। यदि वर्नियर पैमाने के 10 भाग (VSD), मुख्य पैमाने के 9 भागों के बराबर हैं, तो इस उपकरण का अल्पतमांक (Least count) क्या होगा?
सही उत्तर: [C]
हल (Solution):
हल: 1 मुख्य पैमाना भाग (MSD) = 1 mm
दिया गया है: 10 VSD = 9 MSD
इसलिए, 1 VSD = 9/10 MSD = 0.9 mm
अल्पतमांक (Least Count) का सूत्र होता है: 1 MSD - 1 VSD
अल्पतमांक = 1 mm - 0.9 mm = 0.1 mm
हल: 1 मुख्य पैमाना भाग (MSD) = 1 mm
दिया गया है: 10 VSD = 9 MSD
इसलिए, 1 VSD = 9/10 MSD = 0.9 mm
अल्पतमांक (Least Count) का सूत्र होता है: 1 MSD - 1 VSD
अल्पतमांक = 1 mm - 0.9 mm = 0.1 mm
9. प्रतिरोध $R = \frac{V}{I}$ जहाँ $V = (100 \pm 5)$ वोल्ट्स और $I = (10 \pm 0.2)$ एम्पीयर है। प्रतिरोध $R$ में प्रतिशत त्रुटि कितनी होगी?
सही उत्तर: [C]
हल (Solution):
हल: सूत्र भाग (division) में होने पर भी अधिकतम त्रुटि के लिए प्रतिशत त्रुटियां हमेशा जुड़ती हैं।
$R$ में प्रतिशत त्रुटि = ($V$ में प्रतिशत त्रुटि) + ($I$ में प्रतिशत त्रुटि)
वोल्टेज में प्रतिशत त्रुटि = (5 / 100) × 100 = 5%
धारा में प्रतिशत त्रुटि = (0.2 / 10) × 100 = 2%
$R$ में कुल प्रतिशत त्रुटि = 5% + 2% = 7%
हल: सूत्र भाग (division) में होने पर भी अधिकतम त्रुटि के लिए प्रतिशत त्रुटियां हमेशा जुड़ती हैं।
$R$ में प्रतिशत त्रुटि = ($V$ में प्रतिशत त्रुटि) + ($I$ में प्रतिशत त्रुटि)
वोल्टेज में प्रतिशत त्रुटि = (5 / 100) × 100 = 5%
धारा में प्रतिशत त्रुटि = (0.2 / 10) × 100 = 2%
$R$ में कुल प्रतिशत त्रुटि = 5% + 2% = 7%
10. एक सरल लोलक (Simple Pendulum) की लंबाई $l$ मापने में 1% की त्रुटि और आवर्तकाल (Time period) $T$ मापने में 2% की त्रुटि होती है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ के मापन में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि क्या होगी?
सही उत्तर: [C]
हल (Solution):
हल: सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र होता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
इसे $g$ के लिए हल करने पर: $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$
चूंकि $4\pi^2$ एक नियतांक है, इसलिए अधिकतम प्रतिशत त्रुटि होगी:
$g$ में % त्रुटि = ($l$ में % त्रुटि) + $2 \times$ ($T$ में % त्रुटि)
= 1% + 2 × 2%
= 1% + 4% = 5%
हल: सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र होता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
इसे $g$ के लिए हल करने पर: $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$
चूंकि $4\pi^2$ एक नियतांक है, इसलिए अधिकतम प्रतिशत त्रुटि होगी:
$g$ में % त्रुटि = ($l$ में % त्रुटि) + $2 \times$ ($T$ में % त्रुटि)
= 1% + 2 × 2%
= 1% + 4% = 5%